5.2问题二模型的建立
问题一给出了由多次示向度构造定位区域，并用区域直径及最小覆盖圆半径衡量定位不确定性的方法。在问题二中，仅已知一个检测点处的示向度，目标仍位于带有距离不确定性的窄扇形内。此时第二检测点的选择既要保证仍能接收到该全向干扰源的信号，又要使第二次测向后形成的交会定位区域尽可能小。因此，本问沿用问题一的窄角域和最小覆盖圆模型，先构造保证再次接收的候选区域，再以两次测向后的最坏剩余覆盖半径为指标选择第二检测点。
5.2.1 问题分析
设第一次检测位置为S1，测得示向度为θ1。由于测向误差位于[−1∘,1∘]，目标不在单一射线上，而位于以S1为顶点、θ1 为中心方向的窄扇形内。同时，目标的有效接收半径并非固定的 1500 m，而是未知地位于 1000—1500 m 之间。若第二检测点仍位于中心示向线附近，两次测向约束接近平行，交会区域会较为狭长；若只追求较大的交会角，则第二检测点又可能处于真实接收范围之外。故本问将“保证再次接收”作为硬约束，将“压缩第二次测向后的定位区域”作为优化目标。
5.2.2 首次检测后的目标可行域
沿用 5.1 中已经定义的方向单位向量u(θ)和法向量n(θ)，首次测向可行域表示如下，令
ε=1∘,  L=1500 m,  R0=1000 m.
严格的首次可行集可写为
K1=g: 5<‖g−S1‖≤L, wrap(arg(g−S1)−θ1)≤ε∩D,
其中D为半径 1800 m 的目标圆域。距离不超过 5 m 时测向机返回 near，可直接光学定位并清除，因此从后续方向优化中单独处理。
为得到便于证明和计算的凸外包，令
v0=S1,  v±=S1+Lu(θ1)±Ltanε n(θ1),

并定义
T=conv{v0,v+,v−}.
由于目标的轴向投影不超过 L，横向偏差不超过轴向投影与tanε 的乘积，故有 K1⊆T。强调：T 是为了保证不漏掉真实目标而构造的保守外包，并不是目标严格可行集本身。

5.2.3 保证再次接收的候选区域
第二检测点必须应对最不利的 1000 m 接收半径。定义
CT=i∈{0,+,−}B(vi,R0),
其中B(vi,R0) 表示以三角形顶点 vi为圆心、1000 m 为半径的闭圆盘。

任取 p∈CT 和g∈T。由于 g 可写为三个顶点的凸组合 g=iλivi，其中 λi≥0、iλi=1，由三角不等式可得
‖p−g‖≤iλi‖p−vi‖≤iλiR0=R0.

又因真实目标满足 K1⊆T，故 p 到任意可能目标的距离均不超过 1000 m。全向干扰源在该距离内必可被接收，因此CT 是第二检测点的一个具有严格接收保证的保守候选区域。
令
a=L2cos2ε=750.2285 m,  b=R0−a=249.7715 m.

则以S1+au(θ1)为圆心、b 为半径的圆盘完全包含在 CT内。这一结果可作为“候选域面积非零”的解析证据。

图 Q2-1 第二检测点的三圆交保证接收域及其解析内含圆

5.2.4 第二检测点的鲁棒选点模型
设第二检测点为 p∈CT，在该点测得第二个示向度 θ2。沿用问题一的窄角域记号 W(p,θ2)，则两次检测后的保守定位区域为
P2(p,θ2)=T∩W(p,θ2).
令r∗(P2)为该区域的最小覆盖圆半径。对真实目标 g 和第二次测向误差 e2∈[−ε,ε]，定义场景损失
q(p,g,e2)=0,‖g−p‖≤5,r∗T∩Wp,arg(g−p)+e2,‖g−p‖>5.

最坏情形目标函数为
F(p)=supg∈K1, |e2|≤εq(p,g,e2),  p∗=argminp∈CTF(p).

这一目标的含义是：在保证第二次能够接收到信号的前提下，使未知目标位置和测向误差共同造成的最坏剩余定位不确定性尽量小。若多个候选点评分在数值容差内相同，再选择距 S1 较近或地形更易到达的点。
因此，较大的交会角只能用于解释定位精度的变化趋势，不能单独作为第二检测点的最优性条件。
5.2.5 离散求解与结果分析
为检验策略的可执行性，取局部坐标系原点为第一次检测点 S1=(0,0)，令第一次测得的中心示向度为0∘。若仍采用不利用目标圆域裁剪的保守模型，一般情形可把局部候选域旋转θ1 并平移至S1；若利用目标圆域边界收紧可行集，则必须根据实际 S1 和 θ1 重新评分。在三圆交候选域内布置确定性网格，分别枚举首次可能目标距离、首次真实偏角和第二次测向误差。对每个场景使用半平面裁剪得到P2，再计算其最小覆盖圆半径，并以所有采样场景中的最大值作为候选点评分。

                     表2 候选点结果表

候选长度/m 候选点数 距离层× 偏角层×二测误差层 对称离散优选点/m 采样最坏半径/m 采样最坏直径/m
50 174 8×3×3 (800,±600) 56.0664 112.1328
25 702 12×5×3 (850,±525) 55.9466 111.8931
20 1102 16×5×3 (830,±550) 56.1706 112.3411

三档计算的采样最坏覆盖半径均约为 56 m，最大差异不足 0.23 m，优选位置也集中在轴向 800—850 m、横向偏移 525—600 m 的同一邻域，说明结论尺度对本次网格与场景联合加密较稳定。采用最细网格时，代表性优选点为 (830,±550)m，其到外包三角形三个顶点的最大距离为 995.6907 m，小于 1000 m，满足候选域的严格接收保证。每个候选点评估 240 个方向场景，得到采样最坏剩余覆盖半径 56.1706 m、对应直径 112.3411 m。

在相同场景集下，最接近中心示向线的候选点(750,±10)m 的采样最坏覆盖半径为 375.4361 m。横向偏移后的代表点将该指标降低约 85.0%，说明避开近共线观测能显著改善交会几何。但 56.1706 m 仍大于 20 m 光学清除半径，因此按本文保守外包模型，两次测向后尚不能认证目标已进入一次光学清除范围；实际策略应继续复测或在剩余区域内执行局部搜索。这一结论是“当前模型未能给出成功保证”，并不等价于证明精确可行集一定不能由 20 m 圆覆盖。

图 Q2-2 标准构造算例的保证接收域与对称离散优选点

图 Q2-3 保证接收域内第二检测点的离散鲁棒评分

5.2.6 第二检测点选择策略与本节小结
当第一次检测点为S1、示向度为θ1 时，先按 5.2.2—5.2.4 中的定义构造保守外包三角形及三圆交候选域，再在候选域内计算离散鲁棒评分。对标准未裁剪构造，推荐的局部策略点为(830,±550)m，转换到全局坐标可写为
p±=S1+830u(θ1)±550n(θ1).
两个点在标准构造中评分相同，可根据障碍、道路和移动距离选择其中一侧。若首测扇形被目标圆域边界明显截断，对称性可能被破坏，应对裁剪后的可行集重新计算，而不能机械使用两个对称点。
综上，问题二形成了“由一次方向反馈建立保守先验区域—在保证接收域内选择复测点—利用新方向压缩定位区域”的单源主动定位方法。问题三面对的是数量未知的多个全向干扰源，其新增困难主要在于全区域发现、频道调度和移动路径规划；对每个已经获得 direction 反馈的干扰源，仍可调用本节建立的几何定位与复测模块。因此，下一节在本问单源定位策略的基础上，进一步构造覆盖搜索节点并优化多目标处理顺序。

问题三复用问题二的保守集合更新和最小覆盖圆评价方法，但为获得定位半径逐步收缩的理论保证，采用当前可行域的最小覆盖圆圆心进行连续复测，而不直接套用问题二标准算例中的离散优选点。